Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ）．
（Ⅰ）求f（x）的导函数；
（Ⅱ）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣ ）e﹣x（x≥ ），
导数f′（x）=（1﹣ 2）e﹣x﹣（x﹣ ）e﹣x
=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x；
（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣ ）e﹣x ，
可得f′（x）=0时，x=1或 ，
当 ＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜ 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞ 时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥ x2≥2x﹣1（x﹣1）2≥0，
则f（x）≥0．
由f（ ）= e ，f（1）=0，f（ ）= e ，
即有f（x）的最大值为 e ，最小值为f（1）=0．
则f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]．
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当 ＜x＜1时，当1＜x＜ 时，当x＞ 时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（ ），f（1），f（ ），即可得到所求取值范围．
【考点精析】本题主要考查了简单复合函数的导数和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握复合函数求导：和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．