Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点.

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在（2）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2);(3).

【解析】分析：（1）推导出，，从而平面，进而，再证出，从而平面，，再由，能证明平面．
（2）由两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
（3）求出平面的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角D-BP-C的余弦值．

详解：

（1）证明：∵底面，平面，∴，

由于底面为长方形，∴，而，

∴平面，

∵平面，∴，

∵，为的中点，∴，

∵，∴平面，

∴，又，，

∴平面.

（2）由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，可得，

设，则有，∴

∴，

∴，

设直线与平面所成角为，且由（1）知为平面的法向量

∴

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）知，，

设平面的法向量，由，则

令，则，

∴

由（1）平面，

∴为平面PBC的法向量，

设二面角为，则

所以二面角的余弦值为.