Question

【题目】若对于曲线上任意点处的切线，总存在上处的切线，使得，则实数的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】f（x）=﹣ex﹣x的导数为f′（x）=﹣ex﹣1，

设（x1，y1）为f（x）上的任一点，

则过（x1，y1）处的切线l1的斜率为k1=﹣ex1﹣1，

g（x）=2ax+sinx的导数为g′（x）=2a+cosx，

过g（x）图象上一点（x2，y2）处的切线l2的斜率为k2=2a+cosx2．

由l1⊥l2，可得（﹣ex1﹣1）（2a+cosx2）=﹣1，

即2a+cosx2=，

任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立．

则有y1=2a+cosx2的值域为A=[2a﹣1，2a+1]．

y2=的值域为B=（0，1），

有BA，即（0，1）[2a﹣1，2a+1]．

即，

解得0≤a≤．

故答案为：[0， ]．