Question

【题目】设函数，其中.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当，且时证明不等式：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）代入时，求得，求得切线的斜率，即可求解切线的方程；

（Ⅱ）求得的表达式，分和和三种情况分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（Ⅲ）先由时,证得，再取得，进而可证明上述不等式．

试题解析：

（Ⅰ）解：当时， ，

所以，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）解：函数.

,

分以下几种情形讨论：

（1）当时， ，函数；

（2）当时， ，

①当时， ，

，

所以，函数

②当时，

,

所以， .

（Ⅲ）证明：当-1时, ，

令，则在上恒正，

所以， 在上单调递增，当时，恒有，

即当时， ，

对任意正整数，取得，

所以，

=

=

=