【题目】2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.

（1）求该学生进入省队的概率.

（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望.

参考答案：

【答案】（1）；（2）分布列详见解析， .

【解析】试题分析：

(1)由题意结合对立事件概率公式可得：该学生进入省队的概率为；

(2)由题意可知的可能取值为2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计算可得的数学期望为.

试题解析：

（1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，则.

∴.

（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2,3,4,5.

， ，

.

.

故的分布列为：

.

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