【题目】已知函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）证明：.

参考答案：

【答案】（1）时，在上递减，时，时递减，时递增；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）判断单调性，定义域为，只要求得导数，判断的正负即可，此题需要按和分类讨论；（2）证明此不等式的关键是求的最大值，由导数的知识可得最大值为，即，当时，．从而，这样要证不等式的左边每一项都可以放大：，并且再放大为，求和后，不等式右边用裂项相消法可得．

试题解析：（１）由题可知，

定义域为，

所以，

若，恒成立，在单调递减.

若，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

（2）令，则，

设，由于，令得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减

所以，

所以当时，对恒成立，即，

从而，

从而得到，对依次取值可得

…，，

对上述不等式两边依次相加得到：

，

又因为，

而，

所以,

所以

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