Question

【题目】先将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位，然后再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，最后再将所得图象向上平移1个单位，得到函数y=sinx的图象．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于点M（ ，2）对称，求函数y=g（x）在[0， ]上的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，把函数y=sinx的图象向下平移1个单位得y=sinx﹣1的图象，
然后再将y=sinx﹣1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，得到y=sin2x﹣1的图象，
最后将函数y=sin2x﹣1的图象向右平移 个单位得y=sin2（x﹣ ）﹣1的图象，
所以函数y=f（x）的表达式是y=sin（2x﹣ ）﹣1．
（Ⅱ）设函数y=f（x）=sin（2x﹣ ）﹣1图象任意一点为P（m，n），点P（m，n）关于点M（ ，2）对称点为Q（x，y），
由于函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于点M（ ，2）对称，点Q（x，y）是函数y=g（x）图象上的点．
由中点坐标公式可得m+x= 且 n+y=4，即 m= ﹣x且 n=4﹣y．
由点P（m，n）在函数 y=sin（2x﹣ ）﹣1的图象上，可得n=sin（2m﹣ ）﹣1，即有4﹣y=sin[2（ ﹣x）﹣ ）]﹣1，
化简得y=sin（2x﹣ ）+5，所以函数y=g（x）的解析式为y=sin（2x﹣ ）+5．
由于x∈[0， ]，所以y=g（x）=sin（2x﹣ ）+5，根据2x﹣ ∈[﹣ ， ]，y=sin（2x﹣ ）+5∈[4，5+ ]，
函数y=g（x）在[0， ]的最小值和最大值分别为4和5+
【解析】（Ⅰ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．（Ⅱ）由条件利用两个函数的图象关于某个点对称的性质，正弦函数的定义域和值域，求得函数y=g（x）在[0， ]的最小值和最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．