Question

【题目】已知函数f（x）=log2 ． （Ⅰ）判断f（x）奇偶性并证明；
（Ⅱ）用单调性定义证明函数g（x）= 在函数f（x）定义域内单调递增，并判断f（x）=log2 在定义域内的单调性．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ＞0，求得﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）， 再根据f（﹣x）= =﹣log2 =﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）设﹣1＜x1＜x2＜1，∵g（x1）﹣g（x2）= ﹣ = ，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1＞0，1﹣x2＞0，∴g（x1）＜g（x2），
∴g（x）= 在（﹣1，1）内为增函数．
令g（x）=t，则f（x）=log2t，故f（x）在定义域内的单调性与t的单调性相同，
由于t在定义域（﹣1，1）内但地递增，故f（x）在定义域（﹣1，1）内的单调递增
【解析】（Ⅰ）由 ＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，再根据f（﹣x）=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数．（Ⅱ）设﹣1＜x1＜x2＜1，求得 g（x1）﹣g（x2）＜0，可得g（x）在（﹣1，1）内为增函数．令g（x）=t，则f（x）=log2t，故本题即求函数t在（﹣1，1）内的单调性相同，由此得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．