Question

【题目】如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将△ABD沿BD折到△A′BD的位置，使平面A′BD⊥平面CBD．

（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；
（Ⅱ）试在线段A′C上确定一点P，使得二面角P﹣BD﹣C的大小为45°．

Answer 1

【答案】证明：（I）证法一：在△ABC中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2ABADcosA=4+4+8cosC，
在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC=16+4﹣16cosC
由上述两式可知，
∴BD⊥CD
又∵面A'BD⊥面CBD，面A'BD∩面CBD=BD，
∴CD⊥面A'BD
∵A'B面A'BD，∴A'B⊥CD．
（II）解：
法一：存在．P为A'C上靠近A'的三等分点．
取BD的中点O，连接A′O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
又∵平面A′BD⊥平面CBD，∴A'O⊥平面CBD，
∴平面A'OC⊥平面BCD，
过点P作PQ⊥OC于Q，则PQ⊥平面BCD，过点Q作QH⊥BD于H，连接PH．
则QH是PH在平面BDC的射影，故PH⊥BD，
所以，∠PHQ为二面角P﹣BD﹣C的平面角，
P为A'C上靠近A'的三等分点，
∴ ， ，∴ ，∴∠PHD=45°．
∴二面角P﹣BD﹣C的大小为45°．
证明：（Ⅰ）证法一：在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，
过点D作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∴EF=AD=2，
又∵在等腰梯形ABCD中，Rt△ABE≌Rt△DCF且BC=4∴BE=FC=1∴ D
在△BCD中， ，
∴BD2+CD2=BC2 ， ∴CD⊥BD，
又∵平面A'BD⊥平面CBD，
面A'BD∩面CBD=BD∴CD⊥平面A'BD∴CD⊥A'B．
（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）知CD⊥BD，CD⊥平面A′BD．
以D为坐标原点，以 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．

则D（0，0，0）， ，C（0，2，0），
取BD的中点O，连接A'O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
在等腰△A'BD中 可求得A'O=1∴
所以 ，
设 ，则
设 是平面PBD的法向量，则 ，
即 可取
易知：平面CBD的一个法向量为
由已知二面角P﹣BD﹣C的大小为45°．
∴ ，
解得： 或λ=﹣1（舍）
∴点P在线段A'C靠近A'的三等分点处．
【解析】（I）法一：由余弦定理推导出BD⊥CD，从而CD⊥面A'BD，由此能证明A'B⊥CD．
法二：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则AE∥DF，推导出CD⊥BD，从而CD⊥平面A'BD，由此能证明CD⊥A'B．（II）法一：取BD的中点O，连接A′O，推导出平面A'OC⊥平面BCD，过点P作PQ⊥OC于Q，则PQ⊥平面BCD，过点Q作QH⊥BD于H，连接PH，推导出PH⊥BD，从而∠PHQ为二面角P﹣BD﹣C的平面角，由此能求出P为A'C上靠近A'的三等分点，二面角P﹣BD﹣C的大小为45°．
法二：以D为坐标原点，以 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出点P在线段A'C靠近A'的三等分点处．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．