Question

【题目】已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： + + ≥3．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f（x+2）=m﹣|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，

由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|﹣m≤x≤m}．

又f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]，故m=3．

所以f（x）+f（x+2）＞0可化为：3﹣|x﹣2|+3﹣|x|＞0，∴|x|+|x+2|＜6．

①当x≤﹣2时，﹣x﹣x﹣2＜6，∴x＞﹣4，又x≤﹣2，∴﹣4＜x≤﹣2；

②当﹣2＜x≤0时，﹣x+x+2＜6，∴2＜6，成立；

③当x＞0时，x+x+2＜6，∴x＜2，又x＞0，∴0＜x＜2．

综上①、②、③得不等式f（x）+f（x+2）＞0的解集为：{x|﹣4＜x＜2}

（Ⅱ）证明：a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，

因为（ + + ）（a+b+c）≥（b+c+a）2，所以 + + ≥3

【解析】（Ⅰ）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，求m的值，分类讨论，即可解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）直接利用柯西不等式，即可证明结论．
【考点精析】通过灵活运用不等式的证明，掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等即可以解答此题．