Question

【题目】对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”

（1）已知二次函数（且），试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；

（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（3）若为定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据条件中局部奇函数的定义，只需判断方程是否有解即可下结论；（2）

根据局部奇函数的定义，参变分离后可得到关于的函数关系式，即可求解；（3）根据局部奇函数的定

义，可得到，满足的式子，换元后可将问题等价转化为二次函数的零点分布，即可求解．

试题解析：（1）由题意得：，当或时，

成立，∴是“局部奇函数”；（2）由题意得：

∵，∴在有解，∴，，

令，则，设，在单调递减，在单调递增，

∴ ，∴；（3）由定义得：∵，

∴，即有解，

设，∴方程等价于在时有解，

设，对称轴，

①若，则，即，∴，

此时，②若时，则，即，此时，

综上得：，即实数的取值范围是．