Question

【题目】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中， 是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

(1)求出该几何体的体积；

(2)若是的中点，求证： 平面；

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 见解析.

【解析】试题分析：（1）先由面面垂直的性质定理证明 ，再由面面垂直的判定定理证明 证明平面，从而由棱锥的体积公式可得结果；（2）连接 ，由中位线定理得 ，由平行四边形可得 ，进而可得结果.

试题解析：(1)由题意可知：四棱锥中，

平面平面，

平面平面

所以， 平面

又， ，

则四棱锥的体积为：

(2)连接,则，

又,所以四边形为平心四边形，

平面， 平面,

所以， 平面

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.