Question

【题目】已知函数f（x）=2sinx（sinx+ cosx）﹣1（其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调减区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函数f（x）=2sinx（sinx+ cosx）﹣1=2sin2x+2 sinxcosx﹣1

=1﹣cos2x+ sin2x﹣1=2sin（2x﹣ ），

故（1）函数f（x）的最小正周期为 =π．

（2）解：令2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ，

可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．

（3）解：令 2x﹣ =kπ+ ，求得x= + ，可得函数f（x）图象的对称轴为x= + ，k∈Z；

2x﹣ =kπ，求得x= + ，可得函数f（x）图象的对称中心为（ + ，0），k∈Z．

【解析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性以及它的图象的对称轴和对称中心，得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．