Question

(13分)已知函数f(x)＝ax＋(x≠0，常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当a＝0时，f(x)＝，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，
∴a＝0时，f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，
若f(x)为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；
若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1),1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数.
(2)任取x₁>x₂≥3，f(x₁)－f(x₂)＝ax₁＋－ax₂－
＝a(x₁－x₂)＋＝(x₁－x₂)(a－).
∵x₁－x₂>0，f(x)在[3，＋∞)上为增函数，
∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立.
∵＋<，∴a≥.

解析