【题目】设数列的前项和为，。

（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；

（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；来若不存在，请说明理由。

（3）设,，若不等式对恒成立，求的最大值。

参考答案：

【答案】（1），（2）（3）7

【解析】

试题分析：（1）由条件已知，则可利用的关系，求出通项公式为等差；则运用公式可求出；

（2）由（1）可得；则为等差数列，由此公式可得出的公式，可化为方程的解，实验可得；

（3）由，可先化简，发现可运用裂项求和，证明不等关系，可先分析它的单调性，化为最值问题而求出的最大值。

试题解析：(1)由，得;相减得 故数列是以为首项，以为公差的等差数列。所以,

(2)由（1）知，所以由 得，即存在满足条件的自然数

（3） 即单调递增 故要使恒成立，只需成立，即。故符合条件的的最大值为。

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