Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据题意可得，分和两种情形讨论的符号可得单调性．（Ⅱ）令 ，可得，构造函数，结合导数可得，于是可得在上单调递减，在上单调递增，故，然后再证明，即可得，从而可得成立．

试题解析：

（Ⅰ）由题意得，

①当时，则在上恒成立，

∴在上单调递减.

②当时，

则当时，单调递增，

当时，单调递减．

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）令 ，

则 ，

设，

则，

∵,

∴当时， 单调递增；

当时， 单调递减．

∴（因为），

∴.

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

设，

则，

，在上递减，

∴；

∴，故.

说明：判断的符号时，还可以用以下方法判断：

由得到，

设，则，

当时，；当时，.

从而在上递减，在上递增.

∴.

当时，，即.