Question

【题目】如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝，AB＝a，BC＝a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′落在边BC上，设∠AMN＝θ.

(1)若θ＝时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；

(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解 (1)由∠B＝，AB＝a，BC＝a，

所以∠BAC＝.

设MA＝MA′＝xa(0<x<1)，则MB＝a－xa，

所以在Rt△MBA′中，cos(π－2θ)＝＝，

所以x＝.

由于△AMN为等边三角形，

所以绿地的面积

S＝2××a×a×sin＝a2.

(2)因为在Rt△ABC中，∠B＝，AB＝a，BC＝a，

所以∠BAC＝，所以在△AMN中，∠ANM＝－θ，

由正弦定理得＝，

设AM＝ax(0<x<1)，则A′M＝ax，BM＝a－ax，

所以在Rt△MBA′中，cos(π－2θ)＝＝，

所以x＝，即AM＝，

所以AN＝.

2sinθsin＝sin2θ＋sinθcosθ

＝＋sin2θ－cos2θ＝＋sin(2θ－)，

因为<θ<，所以<2θ－<，

所以当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AN的值最小，且AN＝a，此时绿地公共走道的长度MN＝a.