Question

【题目】数列满足： ， ，

(Ⅰ)判断与的大小关系，并证明你的结论；

(Ⅱ)求证： .

Answer 1

【答案】（1）当n为奇数时， ，即<；当n为偶数时， ， >；（2）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ) 分当为奇数时和当n为偶数时两种情况，将与2作差，变形即可判断与的大小关系；
(Ⅱ) 要证，

只需证，验证可知当时，当时不等式成立，

当为偶数且时，

要证，只需证，即证，

令，则单调递减，即可证明；

当为奇数且时，要证，只需证，

只需证，即证，令，讨论单调性即可证明.

试题解析：Ⅰ) 当n为奇数时， <；当n为偶数时， >. 证明如下：

，

两边同取倒数得：

，

，

所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， ， ，所以当n为奇数时，

，即<；当n为偶数时， ， >.

(Ⅱ)证明：因为

，

要证，

只需证，

当时， 成立，当时， 成立，

当为偶数且时，

要证，

只需证，即证

，

令，则单调递减， ，

当为奇数且时，

要证，

只需证，

只需证，

即证，令，

则单调递减， ，

所以成立，

所以成立.