Question

【题目】设关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0．
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0方程有实根，∴△=4a2﹣4b2≥0，

即a≥b

∵a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，

∴转化为古典概率，

总的基本事件有4×3=12个，符合题意的有9个，

上述方程有实根的概率为 = ．

（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，∴，△=4a2﹣4b2≥0，

即a≥b，且a∈[0，3]，b∈[0，2]，

建立几何概率：点（a，b），

S的几何图形为矩形；面积为6，符合条件的图形Ω的面积为4，

方程有实根的概率为： ．

【解析】（1）关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0，△=4a2﹣4b2≥0，转化为古典概率求解．（2）转化为几何概率求解．
【考点精析】通过灵活运用二次函数在闭区间上的最值，掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，即可以解答此题．