Question

【题目】已知函数f（x）=asin2x+bcos2x（ab≠0），有下列四个命题：其中正确命题的序号为（填上所有正确命题的序号）
①若a=1，b=﹣ ，要得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移 个单位；
②若a=1，b=﹣1，则函数y=f（x）的一个对称中心为（ ,0）；
③若y=f（x）的一条对称轴方程为x= ，则a=b；
④若方程asin2x+bcos2x=m的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为π．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：对于①，当a=1，b=﹣ 时，f（x）=sin2x﹣ cos2x=2sin（2x﹣ ）=2sin2（x﹣ ），
要得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移 个单位，命题正确；
对于②，当a=1，b=﹣1时，f（x）=sin2x﹣cos2x= sin（2x﹣ ），
且f（ ）= sin（2× ﹣ ）=1≠0，∴（ ，0）不是函数y=f（x）的一个对称中心，原命题错误；
对于③，当y=f（x）的一条对称轴方程为x= 时，
f（ ）=asin +bcos = a+ b= ，
∴ （a﹣b）2=0，即a=b，命题正确；
对于④，当m=0时，方程asin2x+bcos2x=m的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，
此时等差数列的公差为 ，原命题错误．
综上，正确的命题是①③．
所以答案是：①③．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．