Question

【题目】已知函数（a＜0）．

（Ⅰ）当a＝－3时，求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；

Answer 1

【答案】(1) 单调递减区间为（－3，－2）和（0，＋∞）;(2) a＜0.

【解析】试题分析：(1)解关于导函数的不等式，得到所求的单调减区间；（2）函数f（x）有且仅有一个零点，即函数图象与x轴有唯一的公共点，利用导函数研究函数图象走势即可.

试题解析：

（Ⅰ）∵a＝－3，∴，故

令f′（x）＜0，解得－3＜x＜－2或x＞0，

即所求的单调递减区间为（－3，－2）和（0，＋∞）

（Ⅱ）∵（x＞a）

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a＋1

（1）当a＋1＞0，即－1＜a＜0时，f（x）在（a，0）和（a＋1，＋∞）上为减函数，在（0，a＋1）上为增函数．

由于f（0）＝aln（－a）＞0，当x→a时，f（x）→＋∞．

当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，

此时函数f（x）有且仅有一个零点．

即当－1＜a＜0对，f（x）有且仅有一个零点；

（2）当a＝－1时，，

∵，∴f（x）在（a，＋∞）单调递减，

又当x→－1时，f（x）→＋∞．当x→＋∞时，f（x）→－∞，

故函数f（x）有且仅有一个零点；

（3）当a＋1＜0即a＜－1时，f（x）在（a，a＋1）和（0，＋∞）上为减函数，在（a＋1，0）上为增函数．又f（0）＝aln（－a）＜0，当x→a时，f（x）→＋∞，当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，此时函数f（x）有且仅有一个零点；

综上所述，所求的范围是a＜0．