Question

【题目】已知向量 ，向量 ，函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点向右平行移动 个单位长度，得函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 ，向量 ，

∴函数f（x）= = sinx﹣cosx=2sin（x﹣ ），

令2kπ﹣ ≤x﹣ ≤2kπ+ ，求得2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ，

可得函数的增区间为[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z

（2）解：将函数y=f（x）的图象上所有点向右平行移动 个单位长度，

得函数y=g（x）=2sin（x﹣ ﹣ ）=2sin（x﹣ ） 的图象，

∵x∈[0，π]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，∴g（x）∈[ ，2]，

即函数y=g（x）在区间[0，π]上的值域为[ ，2]

【解析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=g（x）在区间[0，π]上的值域．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．