Question

【题目】已知函数f（x）= （a＞0）．
（1）证明函数f（x）在（0，2]上是减函数，（2，+∞）上是增函数；
（2）若方程f（x）=0有且只有一个实数根，判断函数g（x）=f（x）﹣4的奇偶性；
（3）在（2）的条件下探求方程f（x）=m（m≥8）的根的个数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意：f（x）=x+ +a，

∴f′（x）= ，

∴0＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，（2，+∞）上是增函数

（2）解：由题意知方程x2+ax+4=0有且只有一个实数根

∴△=a2﹣16=0，

又a＞0，∴a=4．

此时f（x）=x+ +4，g（x）=x+ ，

又g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，

且g（﹣x）=﹣x﹣ =﹣g（x），

∴g（x）是奇函数

（3）解：由（2）知f（x）=m可化为x+ =m﹣4（m≥8）

又由（1）（2）知：

当m﹣4=4 即m=8时f（x）=m只有一解

当m﹣4＞4即m＞8时f（x）=m有两解

综上，当m=8时f（x）=m只有一解；当m＞8时f（x）=m有两解

【解析】（1）利用导数的正负，即可证明；（2）求出g（x）=x+ ，又g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，利用奇函数的定义进行判断；（3）由（2）知f（x）=m可化为x+ =m﹣4（m≥8），再分类讨论，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．