Question

【题目】设a>0且a≠1，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx.

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率；

(2)求函数f(x)的极值点．

Answer 1

【答案】(1).(2) 见解析.

【解析】试题分析：（1）由已知中函数 ，根据a=2，我们易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．

（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点．

试题解析：

(1)由已知得x>0.

当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，

所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.

(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋

＝＝.

由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.

①当0<a<1时，

当x∈(0，a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时x＝a时f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．

②当a>1时，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．

综上，当0<a<1时，x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点；

当a>1时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．