Question

【题目】定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x），（k≥2，k∈N+）成立，则称f（x）为k阶缩放函数．
（1）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）=1+ x，求f（2 ）的值；
（2）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f（x）= ，求证：函数y=f（x）﹣x在（1，+∞）上无零点；
（3）已知函数f（x）为k阶缩放函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ∈（1，2]得，f（ ）=1+1+ =

由题中条件得f（2 ）=2f（ ）=2× =1

（2）解：当x∈（2i，2i+1]（i=0，1，2）时， ∈（1，2]，依题意可得：f（x）=2f（ ）=22f（ ）=…=2if（ ）=2i =

方程f（x）﹣x=0 =xx=0或x=2i，0与2i均不属于（2i，2i+1]（（i=0，1，2））当x∈（2i，2i+1]（（i=0，1，2））时，方程f（x）﹣x=0无实数解．

注意到（1，+∞）=（20，21]∪（21，22]∪（22，23）∪…，所以函数y=f（x）﹣x在（1，+∞）上无零点

（3）解：当x∈（kj，kj+1]，j∈Z时，有 ∈（1，k]，依题意可得：f（x）=kf（ ）=k2f（ ）=…=kjf（ ）

当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）

所以当x∈（kj，kj+1]，j∈Z时，f（x）的取值范围是[0，kj）．

由于（0，kn+1]=（kn，kn+1]∪（kn﹣1，kn]∪…∪（k0，k]∪（k﹣1，k0]∪

所以函数f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范围是：[0，kn）∪[0，kn﹣1）∪…∪[0，k0）∪[0，k﹣1）∪…=[0，kn）

【解析】（1）根据二阶缩放函数的定义，直接代入进行求值即可；（2）根据函数零点的定义和性质判断函数y=f（x）﹣x在（1，+∞）上无零点；（3）根据k阶缩放函数成立的条件建立条件关系即可求出结论．