Question

【题目】已知函数．

当时，试判断函数在区间上的单调性，并证明；

若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

(1)根据函数单调性的证明的定义法，取值，做差，若， ，判符号；（2）方法一，将问题等价于 恒成立，转化为轴动区间定的问题；方法二，变量分离，转化为 恒成立，转化为函数求最值问题.

（1）当时，，此时在上单调递增，证明如下：

对任意的，，若，

，

由，故有：，，

因此：，，

故有在上单调递增；

（2）方法一：不等式在上恒成立

，

取，对称轴

当时，对称轴，

∴在上单调递增， ，

故满足题意，

当时，对称轴，

又在上恒成立，

故

解得：，

故

综上所述，实数的取值范围为.

方法二：不等式在上恒成立

。

取

由结论：定义在上的函数，当且仅当时取得最小值.

故 。

当且仅当，即时函数取得最小值.

故，即实数的取值范围为.