Question

【题目】已知函数（, 是自然对数的底数）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析: （Ⅰ）先求出函数的导函数,将代入可得在此切点处的斜率,再由曲线方程可求出切点坐标,利用点斜式式写出切线方程; （Ⅱ）求出的导函数函数,令为,再求的导函数,去判断的单调性,再进一步判断的单调性,可求出的最小值,将恒成立问题转为关于的不等式即可.注意对的分类讨论.

试题解析:（Ⅰ）当时，有，

则．

又因为，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（Ⅱ）因为，令

有（）且函数在上单调递增

当时，有，此时函数在上单调递增，则

（ⅰ）若即时，有函数在上单调递增，

则恒成立；

（ⅱ）若即时，则在存在，

此时函数在 上单调递减， 上单调递增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；

当时，有，则在存在，此时上单调递减， 上单调递增所以函数在上先减后增．

又，则函数在上先减后增且．

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为．