Question

【题目】已知，若在区间上任取三个数、、，均存在以、、为边长的三角形，则实数的取值范围为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】f(x)=x33x+m,求导f′(x)=3x23,由f′(x)=0得到x=1或者x=1，

又x在[0,2]内,∴函数f(x)在区间(0,1)单调递减,在区间(1,2)单调递增，

则f(x)min=f(1)=m2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m.

在[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形，

三个不同的数a,b,c对应的f(a),f(b),f(c)可以有两个相同。

由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长。

由题意知,f(1)=2+m>0…(1)，

f(1)+f(1)>f(0),得到4+2m>m…(2)，

f(1)+f(1)>f(2),得到4+2m>2+m…(3)，

由(1)(2)(3)得到m>6为所求。

实数的取值范围为.