Question

【题目】某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5) (注：收益＝销售额－投放)．

（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．

Answer 1

【答案】将2百万元用于技术改造， 1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．

【解析】试题分析：（1）设投入 百万元)的广告费后增加的收益为 ，根据收益为销售额与投放的差可建立收益模型为： ，再由二次函数法求得最大值；（2）根据题意，若用技术改造的资金为 (百万元)，则用于广告促销的资金为 (百万元)，则收益模型为 ，因为是高次函数，所以用导数法研究其最大值.

试题解析：(1)设投入t(t百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，

则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2) 2＋4(0＜t≤3)，

所以当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．

即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

(2)设用技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，则

则有g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)

所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝2，或x＝－2(舍去)．

又当0≤x＜2时，g′ (x)＞0，当2＜x≤3时，g′(x)＜0．

故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．

所以当x＝2时，g(x)取最大值，

即将2百万元用于技术改造， 1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．