Question

【题目】若函数f（x）在定义域上存在区间[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域为[ ]，则称f（x）在[a，b]上具有“反衬性”．下列函数①f（x）=﹣x+ ②f（x）=﹣x2+4x ③f（x）=sin x ④f（x）= ，具有“反衬性”的为|（ ）
A.②③
B.①③
C.①④
D.②④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：若函数f（x）在定义域上存在区间[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域为[ ]，则等价为函数f（x）与y= 有两个交点，且函数在区间上单调递减即可．
①若f（x）=﹣x+ ，作出函数f（x）与y= 的图象，由图象知两个函数有两个交点，则f（x）具有“反衬性”，

②若f（x）=﹣x2+4x，作出函数f（x）与y= 的图象，由图象知两个函数有两个交点，但函数在交点对应的区间上不具单调性，则f（x）不具有“反衬性”，

③f（x）=sin x，作出函数f（x）与y= 的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上单调递减，则f（x）具有“反衬性”，

④f（x）= ，
当2＜x＜3时，f（x）= f（x﹣1）= [﹣|x﹣2|+1]=﹣ |x﹣2|+ ，
当3＜x＜4时，f（x）= f（x﹣1）= [﹣ |x﹣3|+ ]=﹣ |x﹣2|+ ，

作出函数f（x）与y= 的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上不单调递减，则f（x）不具有“反衬性”，
综上具有“反衬性”的函数是①③，
故选：B
【考点精析】利用函数的定义域及其求法和函数的值域对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．