Question

【题目】已知的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，且的面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上任意一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线与直线分别交于两点，试证：以为直径的圆交轴于定点，并求该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，或.

【解析】

试题分析：(1)由三角形的面积得，由余弦定理得，结合椭圆的定义可得椭圆的标准方程；（2）求出、的坐标，设，写出，的方程，并求出其与的交点的坐标，再设以为直径的圆交轴于点，则，从而，可解出，从而问题得以解决.

试题解析：（1）因为，所以，.

由题意得，解得.

从而，结合，得，

故椭圆的方程为.

（2）由（1）得，，

设，则直线的方程为，

它与直线的交点的坐标为，

直线的方程为，它与直线的交点的坐标为，

再设以为直径的圆交轴于点，则，从而，即

，即，解得.

故以为直径的圆交轴于定点，该定点的坐标为或.