Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）=x2|x﹣a|（a∈R）．21世纪教育网
（1）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a≠0时，是否存在一点M（t，0），使f（x）的图象关于点M对称，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．

（2）解：不存在．

假设存在一点M0（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，

则对x∈R应恒有f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）．

当t0=a时，取x=a，

则f（2a）=﹣f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0这与a≠0矛盾．当t0≠a时，

取x=a﹣t0，

则f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0．∴（2t0﹣a）2|2t0﹣2a|=0，∵2t0﹣2a≠0，∴ ．而 时，取x=0，

则 即 ．∴ 这也与已知矛盾．

综上，不存在这样的点M．

【解析】分析：（1）根据f（x）=x2|x﹣a|（a∈R），可对a分类讨论，根据函数奇偶性的定义即可判断；（2）可假设存在一点M（t0 ， 0）使f（x）的图象关于点M对称，故f（t0+x）=﹣f（t0﹣x）；分当t0=a时，取x=a，有f（2a）=﹣f（0）=0，从而可得a=0，导出矛盾；
当t0≠a时，取x=a﹣t0 ， f（a）=﹣f（2t0﹣a）=0，可解得 ，再取x=0，从而可得a=0，导出矛盾；于是可得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．