Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；

（Ⅱ）若AD＝2，直线CA与平面ABD所成角的正弦值为，求二面角E－AD－C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）有平面平面，证得，再根据线面垂直的判定定理，即可作出证明；

（Ⅱ）现证得为直线与平面所成的角，在中，得到的值，即可求解，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的大小.

试题分析：（Ⅰ）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

　又DC⊥BD所以DC⊥平面ABD，所以DC⊥AB，

又AD⊥AB ，所以AB⊥平面ADC

（Ⅱ）因CD⊥平面ABD，所以∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角，

　CD⊥平面ABD所以CD⊥AD

则

则，依题意得　所以，

即，所以

取BD的中点O，连结AO，EO，因为，∴AO⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD

如图所示建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ，

由（1）可知AB⊥平面ADC，则平面ADC的法向量，

设平面ADE的法向量， ， ，

则，即，令，得， 　

所以，所以， ，由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．