Question

【题目】已知圆关于直线对称的圆为.

（1）求圆的方程；

（2）过点作直线与圆交于两点， 是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在直线和

【解析】试题分析：（1）将圆的一般方程转化为标准方程，将圆关于直线对称问题转化为点关于直线对称问题，进而求出圆的方程；（2）先由条件判定四边形为矩形，将问题转化为判定两直线垂直，利用平面向量是数量积为0进行求解.

试题解析：（1）圆化为标准为，

设圆的圆心关于直线的对称点为，则，

且的中点在直线上，

所以有，

解得： ，

所以圆的方程为.

（2）由，所以四边形为矩形，所以.

要使，必须使，即： .

①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆

交于两点， .

因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线满足条件.

②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为.

设

由得： .由于点在圆内部，所以恒成立，

，

， ，

要使，必须使，即，

也就是：

整理得：

解得： ，所以直线的方程为

存在直线和，它们与圆交两点，且四边形对角线相等.