Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求的方程；

（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

（1）由题意得，根据离心率为可得，故可得到C的方程。（2）由为线段的中点。设，当时，由“点差法”可得直线的斜率为，从而直线的方程可求得为

，过定点；当时， 过点。故可得直线过点。

试题解析：

（1）由题意知，

又椭圆的离心率为，所以，

所以，

所以椭圆的方程为.

（2）因为直线的方程为，设 ，

①当时，设，显然，

由可得，即,

又，所以为线段的中点，

故直线的斜率为，

又，

所以直线的方程为

即，显然恒过定点，

②当时， 过点，

综上可得直线过定点.