Question

【题目】已知函数（其中是自然对数的底数）

（1）若，当时，试比较与2的大小；

（2）若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析： 求的导数，利用判定的单调性，从而求出的单调区间，可比较与的大小；

先求导数，根据题意知是的两个根，令，利用导数得到函数的单调区间，继而得到的取值范围，知，则，又由， ，即可得到

解析：（1）当时， ，则，令，

由于故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，

从而在为增函数，故

（2）函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根，

设，则，

当时， ，函数单调递增且；

当时， ，函数单调递增且；

当时， ，函数单调递增且；

要使方程有两个根，只需，如图所示

故实数的取值范围是

又由上可知函数的两个极值点满足，由得.

由于，故，所以