Question

【题目】设函数f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．

（1）求a的取值范围；

（2）证明：f′（）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；

（3）设点C在函数y＝f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析; （2）见解析（3）2

【解析】

（1）∵f（x）＝ex﹣ax+a，

∴f'（x）＝ex﹣a，

若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．

∴a＞0，令f'（x）＝0，则x＝lna，

当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，

当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，

于是当x＝lna时，f（x）取得极小值，

∵函数f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），

∴f（lna）＝a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，

此时，存在1＜lna，f（1）＝e＞0，

存在3lna＞lna，f（3lna）＝a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，

又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，

可知a＞e2为所求取值范围．

（2）∵，

∴两式相减得．

记，则，

设g（s）＝2s﹣（es﹣e﹣s），

则g'（s）＝2﹣（es+e﹣s）＜0，

∴g（s）是单调减函数，

则有g（s）＜g（0）＝0，而，

∴．

又f'（x）＝ex﹣a是单调增函数，且

∴．

（3）依题意有，则xi＞1（i＝1，2）．

于是，在等腰三角形ABC中，显然C＝90°，

∴，即y0＝f（x0）＜0，

由直角三角形斜边的中线性质，可知，

∴，

即，

∴，

即．

∵x1﹣1≠0，则，

又，

∴，

即，

∴（a﹣1）（t﹣1）＝2．