Question

【题目】已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）对任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的定义域为（2）的取值范围是

【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求解函数的单调区间；

（2）对于任意，都有，转化为，多次构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值可求函数求实数的取值范围.

试题解析：（1）函数的定义域为，

函数的导数，

因为，

所以当时， ，此时，函数在上单调递减，

当时， ，此时，函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，由（1）知在上单调递减， 在上单调递减，

所以对任意的，都有，

因为对任意的，都有，

所以，即，得，

所以当时，对于任意的，都有，

当时， ，由（1）得在上单调递增，

所以对于任意，有，

因为对于任意，都有，

所以，即，

设，则，

设，

则，所以在上单调递减，

则当时， ，

此时不等式不成立，

综上，所求的取值范围是.