Question

【题目】设函数f（x）=sinxcosx将 f（x）的图象向右平移 （0＜φ＜π） 个单位，得到y=g（x）图象且g（x）的一条对称轴是直线x= ．
（1）求φ；
（2）求函数y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin2x，g（x）= sin（2x﹣φ）

∵x= 是函数y=g（x）图象的对称轴．

∴sin（2× ﹣φ）=±1， ﹣φ=kπ+ ，k∈Z．

∵0＜φ＜π，∴φ=

（2）解：由（1）知φ= ，因此y=sin（2x﹣ ）．

由题意得2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z．

∴函数y=sin（2x﹣ ）的单调增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z

【解析】（1）由已知利用平移变换规律可求g（x）= sin（2x﹣φ），由sin（2× ﹣φ）=±1，可求 ﹣φ=kπ+ ，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，即可得解φ的值．（2）由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得函数y=sin（2x﹣ ）的单调增区间．
【考点精析】掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换是解答本题的根本，需要知道图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．