Question

【题目】有下列四个说法：
①若函数f（x）=asinx+cosx（x∈R）的图象关于直线x= 对称，则a= ；
②已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m），若 与 的夹角为钝角，则m＜1；
③当 ＜α＜ 时，函数f（x）=sinx﹣logax有三个零点；
④函数f（x）=xsinx在[﹣ ，0]上单调递减，在[0， ]上单调递增．
其中正确的是（填上所有正确说法的序号）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①函数f（x）=asinx+cosx= sin（x+θ），其中tanθ= ，∵其图象关于直线x= 对称，∴θ+ =kπ+ ，k∈Z，∴θ=kπ+ ，k∈Z，∴tanθ=tan（kπ+ ）=tan = = ，∴a= ，正确；
②已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m）， 与 的夹角为钝角，则 ，∴m＜1且m≠﹣4，不正确；
③当 ＜α＜ 时，a可以是负数，故函数f（x）=sinx﹣logax有三个零点不正确；
④f′（x）=sinx+cosxx，f′（0）=0，当x∈[0， ]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈[﹣ ，0]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，故正确．
所以答案是：①④．
【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用，需要了解两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能得出正确答案．