Question

【题目】设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；
（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2，x∈[0，3]时，

作函数图象，

可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．

所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9

（2）解：

①当x≥a时， ．

因为a＞2，所以 ．

所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．

②当x＜a时， ．

因为a＞2，所以 ．

所以f（x）在 上单调递增，在 上单调递减．

综上所述，函数f（x）的递增区间是 和[a，+∞），递减区间是[ ，a]

（3）解：①当﹣2≤a≤2时， ， ，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，关于x的方程f（x）=t﹣f（a）不可能有三个不相等的实数解．

②当2＜a≤4时，由（1）知f（x）在 和[a，+∞）上分别是增函数，在 上是减函数，

当且仅当 时，方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数解．

即 ．

令 ，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，

故g（a）max=5．

∴实数t的取值范围是 ．

【解析】（1）通过图象直接得出，（2）将x分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，（3）将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能得出正确答案．