Question

【题目】已知定义在R的函数f（x）= 是奇函数，其中a，b为实数
（1）求a，b的值
（2）用定义证明f（x）在R上是减函数
（3）若对于任意的t∈[﹣3，3]，不等式f（t2﹣2t）+f（﹣2t2+k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 是R上的奇函数，

∴f（0）= =0，∴b=1．

又f（1）+f（﹣1）= + =0，解得：a=1，

∴a=b=1

（2）解：由（1）知，f（x）= =﹣1+ ，

令x1＜x2，则 ＜ ，

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

∴f（x）在R上是减函数

（3）解：∵对于任意的t∈[﹣3，3]，f（t2﹣2t）+f（﹣2t2+k）＜0恒成立，f（x）= 为奇函数，

∴f（t2﹣2t＜﹣f（﹣2t2+k）=f（2t2﹣k），

又f（x）在R上是减函数．

∴t2﹣2t＞2t2﹣k恒成立，t∈[﹣3，3]．

∴k＞（t2﹣2t）max，又y=t2﹣2t的对称轴方程为t=1，∴t=﹣3时，函数取得最大值，即ymax=15，

∴k＞15，即k的取值范围为：（15，+∞）

【解析】（1）依题意，由f（0）=0可求得b，再由f（1）+f（﹣1）=0可求得a的值；（2）令x1＜x2 ， 作差f（x1）﹣f（x2）= 判定符号即可证明f（x）在R上是减函数；（3）对于任意的t∈[﹣3，3]，不等式f（t2﹣2t）+f（﹣2t2+k）＜0恒成立，利用R上的奇函数f（x）单调递减的性质性可得t2﹣2t＞2t2﹣k恒成立，t∈[﹣3，3]，整理得k＞（t2﹣2t）max ， t∈[﹣3，3]，从而可求k的取值范围．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．