Question

【题目】过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

设直线AB的方程为x=my+

与抛物线的方程联立 ，得y2﹣2mpy﹣p2=0，

∴y1y2=﹣p2=﹣4，

解得p=±2，

∵p＞0，

∴p=2

（2）解：依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．

∴直线BD的方程可表示为，y= （x﹣4）①

∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②

由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣ ）

由（1）可得y1y2=﹣4，

∴P的坐标可化为（﹣1， ），

∴kAP= = ，

∴直线AP的方程为y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，可得x=x1﹣ = ﹣ =

∴直线AP与x轴交于定点（ ，0）．

【解析】（1）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），设直线AB的方程为x=my+ ，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y= （x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．