Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF．
（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE． ∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．
∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE= ，A1F= ．
∴A1E= ，EF= = ，DE= = ，
DF= = ，
∴EF2+DE2=DF2 ， ∴DE⊥EF，
又CE⊥EF，CE∩DE=E，CE平面CDE，DE平面CDE，
∴EF⊥平面CDE，又CD平面CDE，
∴CD⊥EF，
又CD⊥AB，AB平面ABB1A1 ， EF平面ABB1A1 ， AB，EF为相交直线，
∴CD⊥平面ABB1A1 ， 又CDABC，
∴平面ABB1A1⊥平面ABC．
（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．
∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC= ．
以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（ ，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（ ，0， ），F（ ， ，2）．
∴ =（﹣ ，0，2）， =（ ，0， ）， =（ ， ，2）．
设平面CEF的法向量为 =（x，y，z），则 ，
∴ ，令z=4，得 =（﹣ ，﹣9 ，4）．
∴ =10，| |=6 ，| |= ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为 ．
【解析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE．计算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1 ， 从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出 和平面CEF的法向量 ，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜ ＞|．