Question

【题目】已知函数f（x）=ln（ax+ ）+ ．
（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：对f（x）求导：f'（x）= ﹣ ；

∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；

即： ≥ ；

∵a＞0，x＞0；

∴ ≤x2+ ；

故x2+ 在x＞0上最小值为 ；

所以： ≤ ；

解得：a≥2

（2）解：假设存在这样的实数a，则f（x）≥1在x＞0上恒成立，即ln（a+ ）+ ≥1；

ln（a+ ）≥ ＞0=ln1，解得a＞ ；

从而这样的实数a必须为正实数，当a≥2时，由上面的讨论知f（x）在（0，+∞）上递增．

f（x）＞f（0）=2﹣ln2＞1，此时不合题意，故这样的a必须满足0＜a＜2；

此时：f'（x）＞0得f（x）的增区间为（ ）；令f'（x）＜0得f（x）的减区间为（0， ）；

故f（x）min=f（ ）=ln（a + ）+ =1；

整理即：ln（ ）﹣ =0；

ln（ ）﹣ =0；

设t= ∈（ ，1]；

则上式即为lnt﹣ =0，构造g（t）=lnt﹣ ，则等价于g（t）=0；

由于y=lnt为增函数，y= 为减函数，故g（t）为增函数；

观察知g（1）=0，故g（t）=0等价于t=1，与之对应的a=1，

综上符合条件的实数a是存在的，即a=1

【解析】（1）首先对f（x）求导，f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；利用分离参数法求出a的范围；（2）利用反证法假设a存在，则f（x）≥1在x＞0上恒成立可得a＞ ；利用导数判断出函数f（x）min=1时，可求出参数a的值；
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．