Question

【题目】已知函数f（x）=，其中a∈R.

（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；

（II）求f（x）的极值.

Answer 1

【答案】（I）2x-y=0; （II）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出在原点处的导数值，得斜率，即可求出切线方程；

（2）求出导数，讨论单调性得极值.

试题解析：

（I）解：当a=1时，f（x）=，f '（x）=-2.…………2分

由f '（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0.………4分

（II）解：f '（x）=-2. ………6分

①当a=0时，f '（x）=.

所以f（x）在（0，+∞）单调递增，（-∞，0）单调递减. ………………7分

当a≠0，f '（x）=-2a.

②当a>0时，令f '（x）=0，得x1=-a，x2=,f（x）与f '（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1,x2）	x2	（x2,+∞）
f '（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的单调减区间是（-∞，-a）,（,+∞）；单调增区间是（-a， ）.

f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2 ………10分

③当a<0时，f（x）与f '（x）的情况如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2,x1）	x1	（x1,+∞）
f '（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的单调增区间是（-∞，）；单调减区间是（-，-a），（-a,+ ∞）。

f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2 ………………12分

综上，a>0时，f（x）在（-∞，-a），（，+∞）单调递减；在（-a, ）单调递增.

a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值，f（）=a2；a<0时，f（x）在（-∞, ），（-a,+∞）单调递增；在（，-a）单调递减，f（x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（）=a2.