Question

【题目】数列{an}满足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）
（Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1 ．

Answer 1

【答案】解：（ I）由题意得an+1+an=4n﹣3…①an+2+an+1=4n+1…②．
②﹣①得an+2﹣an=4，
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d=2，
∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴ ．
∴ ．
（Ⅱ）∵a1=2，a1+a2=1，
∴a2=﹣1．
又∵an+2﹣an=4，
∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，
S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）
=
=4n2+n+2
【解析】（Ⅰ）由题意得an+1+an=4n﹣3，an+2+an+1=4n+1．所以an+2﹣an=4，由{an}是等差数列，公差d=2，能求出 ．（Ⅱ）由a1=2，a1+a2=1，知a2=﹣1．因为an+2﹣an=4，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，故a2n﹣1=4n﹣2，a2n=4n﹣5．由此能求出S2n+1 ．
【考点精析】掌握等差数列的通项公式（及其变式）和等差数列的前n项和公式是解答本题的根本，需要知道通项公式：或；前n项和公式：．