Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．

（1）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求f （2）的值；

（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）9 ； （2）[﹣2，].

【解析】

（1）根据函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求解得a，b，即可求解f （2）的值；

（2）将a=1，c=0代入，|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，转化为不等式问题求解即可．

函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．

（1）由题意，可得，a﹣b+1=0，

解得：a=1，b=2；

∴函数f（x）=x2+2x+1．

那么f（2）=4+4+1=9；

（2）由a=1，c=0，可得f（x）=x2+bx；

∵|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，

即|x2+bx|≤1

令g（x）=|x2+bx|=|x（x+b）|，显然图象过原点，（b，0）．

当b＜0，g（x）在区间（0，1]上单调递增，可得g（x）的图象，（如图）

g（x）max=g（1）=|b+1|≤1

∴﹣2≤b＜0

当b=0时，可得|x2|≤1在区间（0，1]上恒成立，

可得：﹣2≤b≤0；

当b＞0，显然g（x）max=

解得：≥b＞0

综上可得b的取值范围是[﹣2，]．