Question

【题目】如图，设椭圆： ，长轴的右端点与抛物线： 的焦点重合，且椭圆的离心率是．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过作直线交抛物线于， 两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）面积的最小值为9， .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；

（Ⅱ）本题考查圆锥曲线中的三角形面积问题，解题方法是设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同样过与直线垂直的直线方程为，同样代入椭圆方程，利用韦达定理得，其中， 是点的横坐标，于是可得，这样就可用表示出的面积， ，接着可设，用换元法把表示为的函数，利用导数的知识可求得最大值.

试题解析：

（Ⅰ）∵椭圆： ，长轴的右端点与抛物线： 的焦点重合，

∴，

又∵椭圆的离心率是，∴， ，

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设， ，

联立得，

∴， ，

∴．

过且与直线垂直的直线设为，

联立得，

∴，故，

∴，

面积．

令，则， ，

令，则，即时， 面积最小，

即当时， 面积的最小值为9，

此时直线的方程为．