Question

【题目】过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .

（1） 证明: 为定值;

（2） 记△的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)对 求导，得到直线的斜率为 ，进一步得到直线的方程为. 将点点代入直线方程，整理得.

同理, . 又, 所以为定值.

(Ⅱ)由题意可得)直线的垂直平分线方程为. ①

同理直线的垂直平分线方程为. ②

由①②解得点. 又 抛物线的焦点为 则由， 可得 所以以为直径的圆恒过点

试题解析：

(Ⅰ) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.

因为点和在抛物线上, 所以,.

所以直线的方程为.

因为点在直线上,

所以,即.

同理, .

所以是方程的两个根.

所以.

又,

所以为定值.

法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为,

由消去得,

由, 化简得.

所以.

由,得,所以.

所以直线的斜率为,直线的斜率为.

所以, 即.

又,

所以为定值.

(Ⅱ) 法1：直线的垂直平分线方程为,

由于,,

所以直线的垂直平分线方程为. ①

同理直线的垂直平分线方程为. ②

由①②解得, ,

所以点.

抛物线的焦点为 则

由于，

所以

所以以为直径的圆恒过点

另法: 以为直径的圆的方程为

把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.

所以以为直径的圆恒过点

法2：设点的坐标为，

则△的外接圆方程为，

由于点在该圆上，

则，

.

两式相减得, ①

由(Ⅰ)知,代入上式得

,

当时, 得, ②

假设以为直径的圆恒过点,则即,

得, ③

由②③解得,

所以点.

当时, 则,点.

所以以为直径的圆恒过点